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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=
          a3
          x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的兩個(gè)根分別為1和4,若f(x)在 (-∞,+∞)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
           
          分析:由方程f′(x)-9x=0的兩個(gè)根分別為1和4,得到
          b=
          1
          2
          (9-5a)
          c=4a
          ,又由函數(shù)f(x)=
          a
          3
          x3+bx2+cx+d(a>0)在R上無(wú)極值,則其導(dǎo)數(shù)值非正或非負(fù),
          由于其導(dǎo)數(shù)為開(kāi)口向上的二次函數(shù),只須導(dǎo)函數(shù)相應(yīng)二次方程的判別式非正即可即可得到函數(shù)在R上無(wú)極值的條件,將b,c代入后,求解不等式,即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          解答:解:∵f(x)=
          a
          3
          x3+bx2+cx+d(a>0)
          ∴f′(x)=ax2+2bx+c,
          ∵方程f′(x)-9x=0的兩個(gè)根分別為1和4,
          ∴ax2+(2b-9)x+c=0的兩個(gè)根分別為1和4,
          a+2b+c-9=0
          16a+8b+c-36=0

          b=
          1
          2
          (9-5a)
          c=4a

          又∵函數(shù)f(x)=
          a
          3
          x3+bx2+cx+d(a>0)在R上無(wú)極值
          ∴f′(x)=ax2+2bx+c≥0恒成立
          ∴4b2-4ac≤0,即b2-ac≤0
          [
          1
          2
          (9-5a)]2-4a2≤0
          ,整理得a2-10a+9≤0
          解得:1≤a≤9,
          則實(shí)數(shù)a的取值范圍1≤a≤9.
          故答案為:1≤a≤9.
          點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,考查函數(shù)沒(méi)有極值時(shí)導(dǎo)數(shù)的值域的數(shù)字特征,并將這一關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式.本題在求解時(shí)用到了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題的常用技巧,做完此題后要好好體會(huì)其方式.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=(2-a)lnx+
          1
          x
          +2ax.
          (Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的極值;
          (Ⅱ)當(dāng)a≠0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅲ)當(dāng)a=2時(shí),對(duì)任意的正整數(shù)n,在區(qū)間[
          1
          2
          ,6+n+
          1
          n
          ]上總有m+4個(gè)數(shù)使得f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(am)<f(am+1)+f(am+2)+f(am+3)+f(am+4)成立,試問(wèn):正整數(shù)m是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          定義函數(shù)f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如:[1,5]=1.[-1,3]=-2,當(dāng)x∈[0,n](n∈N*)時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)的值域?yàn)锳,記集合A中的元素個(gè)數(shù)為a,則:
          (1)a3=
          6
          6

          (2)式子
          an+90
          n
          的最小值為
          181
          13
          181
          13

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列{an}滿足an+1=f(an).
          (1)若a1=2,試比較a2與a3的大。
          (2)若0<a1<1,求證:0<an<1對(duì)任意n∈N*恒成立.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          4+
          1
          x2
          ,數(shù)列{an}滿足:點(diǎn)P(an,
          1
          an+1
          )
          在曲線y=f(x)上,其中n∈N*,且a1=1,an>0.
          (I)求a2和a3;
          (II)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (III)若bn=
          1
          an2
          +2n
          ,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          任給實(shí)數(shù)a,b定義a?b=
          a×b,a×b≥0
          a
          b
          ,a×b<0
            設(shè)函數(shù)f(x)=lnx?x,若{an}是公比大于0的等比數(shù)列,且a5=1,則f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a7)+f(a8)+f(a)=a1,則a1=( 。
          A、e2B、e
          C、2D、1

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          同步練習(xí)冊(cè)答案