Question

【題目】四棱錐中，PC⊥面ABCD，直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，PC=2，點(diǎn)M在PB上且PB=4PM，PB與平面PCD所成角為60°.

（1）求證：面：

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）

【解析】

（1）在線段AB上取一點(diǎn)N，使，可證平面，由，可得，得到平面，從而可證面面平行，再根據(jù)面面平行得結(jié)果；
（2）以C為原點(diǎn)，CB，CD，CP所在直線為軸,軸,軸，建立空間坐標(biāo)系,用向量法求解二面角.

（1）在線段AB上取一點(diǎn)N，使，

因?yàn)?/span>，所以且，

所以為平行四邊形，

所以， 平面，平面,則平面

在三角形ABP中，，所以，

平面，平面,則平面

所以平面MNC//平面PAD，又平面MNC，

所以CM平面PAD

（2）以C為原點(diǎn)，CB，CD，CP所在直線為軸,軸,軸，建立空間坐標(biāo)系.

面ABCD，所以，

又因?yàn)?/span>，所以面，

所以在面PCD的射影為PC，

所以與平面PCD所成角，

所以

所以，

.

面法向量，

面法向量

，所以，

所以，

所以二面角所成角的余弦值為