Question

在數(shù)列中，，且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n－1倍（）。
（1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明。

Answer 1

（1）數(shù)列的前5項(xiàng)是：，，，，
（2）證明見解析

（1）由已知，，分別取，得：
，                 ，
，      
所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，，，，
（2）由（1）中的分析可以猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，公式顯然成立。②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，那么由已知，得，
即    所以
即，又歸納假設(shè)，得：
所以，即當(dāng)時(shí)，公式也成立
由①，②，對(duì)一切，都有成立。