Question

如圖，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上離點(diǎn)A較近的三等分點(diǎn)，則

BD

•

CE

=

-1

．

Answer 1

分析：由題意選基向量，再由向量的加減法和數(shù)乘幾何意義，用基向量表示出

BD

和

CE

，再由數(shù)量積的運(yùn)算求出式子的值．

解答：解：由題意選基向量

AB

和

AC

，且|

AB

|=|

AC

|=2，它們的夾角為60°，
∴

BD

=

AD

-

AB

=

1

2

AC

-

AB

，

CE

=

AE

-

AC

=

1

3

AB

-

AC

，
∴

BD

•

CE

=（

1

2

AC

-

AB

）•（

1

3

AB

-

AC

）
=

1

6

AC

•

AB

-

1

2

AC

2-

1

3

AB

2+

AB

•

AC

=

7

6

AC

•

AB

-

1

2

AC

2-

1

3

AB

2
=

7

6

×2×2×

1

2

-

1

2

×4-

1

3

×4=-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用，以及向量的加減法和數(shù)乘幾何意義，解答關(guān)鍵是選基向量和利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．