Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．
（Ⅰ）證明：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AC與D₁E所成角的余弦值；
（Ⅲ）AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為．

Answer 1

【答案】分析：（I）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則我們可以確定長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線D₁E和直線A₁D的方向向量后，判斷他們的數(shù)量積為0，即可得到D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）由E為AB的中點(diǎn)時(shí)，則我們可以求出滿足條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC與D₁E的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．
（III）若二面角D₁-EC-D的大小為，則平面D₁EC的法向量與平面ECD的法向量的夾角大小為，求出平面D₁EC的法向量，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程即可得到滿足條件的AE的值．
解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222515202332419/SYS201311012225152023324018_DA/5.png">=（1，0，1），=（1，x，-1）
∴•=1+0-1=0，所以D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，則E（1，1，0），
從而=（1，1，-1），=（-1，2，0），
設(shè)AC與D₁E所成的角為θ
則…（9分）
（Ⅲ）設(shè)平面D₁EC的法向量為=（a，b，c），
∵=（1，x-2，0），=（0，2，-1），=（0，0，1）
由，有，
令b=1，從而c=2，a=2-x
∴=（2-x，1，2），…..（12分）
由題意，cos===．
∴x=2+（不合題意，舍去），或x=2-．
∴當(dāng)AE=2-時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，用空間向量求直線間的夾角、距離，用空間向量求平面間的夾角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)及相關(guān)直線的方向向量及相關(guān)平面的法向量的坐標(biāo)，將空間平行、垂直及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．