Question

已知α為銳角，且tan(

π

4

+α)=-(2+

3

)．
（I）求tanα的值；
（II） 求函數(shù)f（x）=sinαcos2x-cosαsin2x（x∈[0，

π

2

]）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用兩角和的正切個(gè)數(shù)將已知等式展開，通過解方程求出tanα的值；
（II）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），先根據(jù)0≤x≤

π

2

，得到-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最值．

解答：解：（I）由tan(

π

4

+α)=

1+tanα

1-tanα

=-(2+

3

)
解得tanα=

3

；
（II）由（I）知tanα=

3

；
又因?yàn)棣翞殇J角，
所以α=

π

3

．
∴f（x）=sinαcos2x-cosαsin2x
=sin

π

3

cos2x-cos

π

3

sin2x
=-sin(2x-

π

3

)．
因?yàn)?span id="vppxxye" class="MathJye">0≤x≤

π

2

，
所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
所以當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時(shí)，f（x）有最小值-1，
當(dāng)2x-

π

3

=-

π

3

，即x=0時(shí)，f（x）有最大值

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和、差的三角函數(shù)公式、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，要注意函數(shù)的定義域．