Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b
（1）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，求實(shí)數(shù) a的值；
（2）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若f（x）在[1，+∞）內(nèi)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，我們易得到函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的方程，解方程即可求出實(shí)數(shù) a的值；
（2）根據(jù)偶函數(shù)的定義，我們可得f（-x）=f（x）恒成立，代入即可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可求出實(shí)數(shù) a的值；
（3）f（x）在[1，+∞）內(nèi)遞增，則表示區(qū)間[1，+∞）在函數(shù)對(duì)稱軸的右側(cè)，由此可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式即可求出實(shí)數(shù) a的范圍．

解答：解：（1）∵f（1+x）=f（1-x）
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
∴-

a

2

=1即a=-2
（2）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立
即（-x）²+a（-x）+b=x²+ax+b
∴2ax=0
∴a=0
（3）∵f（x）在[1，+∞）內(nèi)遞增
∴-

a

2

≤1
∴a≥-2
即實(shí)數(shù)a的范圍為[-2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)構(gòu)造出關(guān)于a的方程（或不等式是解答本題的關(guān)鍵）．