Question

已知向量

a

=(sin(

x

2

+

π

12

)，cos

x

2

)，

b

=(cos(

x

2

+

π

12

)，-cos

x

2

)，x∈[

π

2

，π]，函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）若cosx=-

3

5

，求函數(shù)f（x）的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象按向量

c

=（m，n）（0＜m＜π）平移，使得平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求向量

c

．

Answer 1

分析：求出函數(shù)f（x）=

a

•

b

．的最簡(jiǎn)形式：
（1）根據(jù)x的范圍，利用cosx=-

3

5

，求出sinx=

4

5

，得到函數(shù)f（x）的值．
（2）由圖象變換得，平移后的函數(shù)為g(x)=

1

2

sin(x-

π

6

-m)+n-

1

2

，而平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g（0）=0求出n，
推出m，求向量

c

．

解答：解：由題意，得f(x)=sin(

x

2

+

π

12

)cos(

x

2

+

π

12

)-cos2

x

2

=

1

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

(1+cosx)
=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

1

2

(

3

2

sinx-

1

2

cosx)-

1

2

=

1

2

sin(x-

π

6

)-

1

2

.（5分）
（1）∵x∈[

π

2

，π]，cosx=-

3

5

，∴sinx=

4

5

，
∴f(x)=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

3

5

-

7

20

.（7分）
（2）由圖象變換得，平移后的函數(shù)為g(x)=

1

2

sin(x-

π

6

-m)+n-

1

2

，
而平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴g(0)=0且n-

1

2

=0，（9分）
即sin(m+

π

6

)=0且n=

1

2

，∵0＜m＜π，∴m=

5

6

π，
即

c

=(

5

6

π，

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，向量間的變換，考查計(jì)算能力．