Question

【題目】如圖，已知P（x0 ， y0）是橢圓C： =1上一點，過原點的斜率分別為k1 ， k2的兩條直線與圓（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 均相切，且交橢圓于A，B兩點．

（1）求證：k1k2=﹣ ；
（2）求|OA||OB|得最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由圓P與直線OA：y=k1x相切，

可得 = ，

即（4﹣5x02）k12+10x0y0k1+4﹣5y02=0，

同理，（4﹣5x02）k22+10x0y0k2+4﹣5y02=0，

即有k1，k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的兩根，

可得k1k2= = =﹣

（2）

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立 ，

解得x12= ，y12= ，

同理，x22= ，y22= ，

（|OA||OB|）2=（ + ）（ + ），

∴|OA||OB|=2

=2 ≤

當(dāng)且僅當(dāng)k1=± 時，取等號，

可得|OA||OB|的最大值為

【解析】（1）推導(dǎo)出k1 ， k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的兩根，由此能利用韋達定理能求出k1k2為定值；（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立 ，由此利用橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件運用基本不等式能求出|OA||OB|的最大值．
【考點精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．