Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過(guò)A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為10．
（1）求棱A₁A的長(zhǎng)；
（2）若A₁C₁的中點(diǎn)為O₁，求異面直線BO₁與A₁D₁所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出棱A₁A的長(zhǎng)，求出長(zhǎng)方體的體積和被截的幾何體的體積，根據(jù)條件建立等量關(guān)系，求出所求；
（2）先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，∠O₁BC即為異面直線BO₁與A₁D₁所成的角（或其補(bǔ)角），在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．

解答：解：（1）設(shè)A₁A=h，由題設(shè)VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=10，
得SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=10，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=10，解得h=3．
故A₁A的長(zhǎng)為3．（6分）
（2）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中A₁D₁∥BC，
所以∠O₁BC即為異面直線BO₁與A₁D₁所成的角（或其補(bǔ)角）．（8分）
在△O₁BC中，計(jì)算可得O1B=O1C=

11

，
則∠O₁BC的余弦值為

11

11

，
故異面直線BO₁與A₁D₁所成角的大小為arccos

11

11

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及利用余弦定理進(jìn)行解題等，屬于基礎(chǔ)題．