Question

【題目】如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，上、下底面的面積之比為1：4，側(cè)面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A＝A1B1，∠AA1B＝90°．

（1）平面A1C1B∩平面ABC＝l，證明：A1C1∥l；

（2）求平面A1C1B與平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）在三棱臺(tái)中，根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)可得所證結(jié)論．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A1C1B與平面ABC的法向量，然后求出兩向量夾角的余弦值，于是可得所求正弦值．

（1）證明：在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，可得A1C1∥AC，

且A1C1平面ABC，AC平面ABC，

所以A1C1∥平面ABC，

又A1C1平面A1C1B，平面A1C1B∩平面ABC＝l，

所以A1C1∥l．

（2）根據(jù)題意，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為x軸，OC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示．

由于，

∴，

則，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，得，

∴．

由題意知，平面ABC的法向量為．

∴，

∴．

即平面A1C1B與平面ABC所成二面角的正弦值為．