Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點處的切線經(jīng)過點（0,1），求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時，函數(shù)至多有一個極值點；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求實數(shù)a的值；（Ⅱ）對a分兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)至多有一個極值點.

解：（Ⅰ）由，得

所以，.

所以由得.

（Ⅱ）證明：當(dāng)時，

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

當(dāng)時，令，則.

由得，

則①當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減，

所以在上至多有一個零點，即在上至多有一個零點.

所以函數(shù)在上至多有一個極值點.

②當(dāng)，即時，及隨的變化情況如下表：

x
	+	0	-
		極大值

因為，

所以在上至多有一個零點，即在上至多有一個零點.

所以函數(shù)在上至多有一個極值點.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在定義域上至多有一個極值點