Question

【題目】在直角坐標系xOy中，已知圓C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，點P是直線l：x﹣2y﹣2=0上的任意點，過P作圓的兩條切線PA，PB，切點為A、B，當∠APB取最大值時．
（Ⅰ）求點P的坐標及過點P的切線方程；
（Ⅱ）在△APB的外接圓上是否存在這樣的點Q，使|OQ|= （O為坐標原點），如果存在，求出Q點的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圓方程可化為：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，圓心C（1，2），r=1 當∠APB取最大值時，即圓心到點P的距離最小
所求的點P是過圓心與直線l垂直的直線與直線l的交點．
過圓心與直線l垂直的直線的方程是：2x+y﹣4=0
由 ，解得P（2，0）
設切線方程為：y=k（x﹣2），
，解得k= ，或k不存在．
過點P的切線方程：3x+4y﹣6=0
或x=2
（Ⅱ）△APB的外接圓是以PC為直徑的圓
PC的中點坐標是 ，
因此△APB外接圓方程是：
圓上的點到點O的最大距離是：
因此這樣的點Q不存在
【解析】（Ⅰ）求出圓心C（1，2），r=1，判斷當∠APB取最大值時，即圓心到點P的距離最小，通過求解P（2，0）得到切線方程．（Ⅱ）△APB的外接圓是以PC為直徑的圓，求出PC的中點坐標是 ， ，圓上的點到點O的最大距離判斷求解，即可得到因此這樣的點Q不存在．