Question

已知邊長為a的等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和為定值，這個(gè)定值為

3

2

，推廣到空間，棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和也為定值，則這個(gè)定值為：

6

3

a

．

Answer 1

分析：三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離和為定值是利用三角形面積相等得到的，類彼此可利用四面體的體積相等求得棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和．

解答：解：邊長為a的等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和是由該三角形的面積相等得到的，
由此可以推測棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和可由體積相等得到．
方法如下，如圖，
在棱長為a的正四面體內(nèi)任取一點(diǎn)P，P到四個(gè)面的距離分別為h₁，h₂，h₃，h₄．
四面體A-BCD的四個(gè)面的面積相等，均為

3

4

a2，高為

6

3

a．
由體積相等得：

1

3

(h1+h2+h3+h4)•

3

4

a2=

1

3

•

3

4

a2•

6

3

a．
所以h1+h2+h3+h4=

6

3

a．
故答案為

6

3

a．

點(diǎn)評：本題考查了類比推理，考查了學(xué)生的空間想象能力，訓(xùn)練了等積法求點(diǎn)到面的距離，是基礎(chǔ)題．