Question

已知邊長為1的等邊△ABC，在線段AC上任取一點P（不與端點重合），將△ABP折起，使得平面BPC⊥平面ABP，則當三棱錐A-PBC的體積最大時，點A到面PBC的距離是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)AP=x，則PC=1-x，我們求出底面三角形BPC的面積，及高的長度，可以得到三棱錐A-PBC的體積V的表達式（含參數(shù)x），利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可求出當三棱錐A-PBC的體積最大時，點A到面PBC的距離．

解答：解：設(shè)AP=x，則PC=1-x，
則S_△BPC=

1

2

•1•(1-x)•

3

2

=

3

4

•（1-x）
點A到平面BPC的距離就是△ABP的中BP邊上的高
∴H=

2S△ABP

BP

=

3 2 x

x2-x+1

故三棱錐A-PBC的體積V=

1

8

•

-(x2-x)

(x2-x)+1

令t=x²-x（t∈[-

1

4

，0）
則V=

1

8

•

-t

t+1

=

1

8

•

1

1 t + 1 t2

=

1

8

•

1

( 1 t + 1 2 )2+ 3 4

故t=-

1

4

，即x=

1

2

時，V取最大值
故答案為：

1

2

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，函數(shù)的最值，其中設(shè)AP=x，則PC=1-x，并得到三棱錐A-PBC的體積V的表達式，是解答本題的關(guān)鍵．