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        1. 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,am+an+am-n=
          1
          2
          (a2m+a2n)+m-n,其中m,n∈N,m≥n
          ,數(shù)列{bn}滿足:bn=an+1-an
          (I)求a0,a2;
          (II)當(dāng)n∈N*時(shí),求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
          (III)設(shè)cn=
          2n-2(bn-2)
          n
          (n∈N*),令Sn=c1+c2+…+cn
          ,求證:
          n
          2
          -
          1
          3
          S1
          S2
          +
          S2
          S3
          +…+
          Sn
          sn+1
          n
          2
          (n∈N*)
          分析:(I)根據(jù)數(shù)列遞推式,利用賦值法,可得結(jié)論;
          (II)根據(jù)數(shù)列遞推式,令m=n+2,進(jìn)而可得an+2=2an+1-an+2,由此可證數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
          (III)確定數(shù)列的通項(xiàng),求出數(shù)列的和,再進(jìn)行放縮,即可證得結(jié)論.
          解答:(I)解:∵am+an+am-n=
          1
          2
          (a2m+a2n)+m-n

          ∴令m=n,可得a0=0;令n=0,可得a2m=4am-2m
          令m=1,可得a2=4a1-2=6;
          (II)證明:令m=n+2,則a2n+2+an+a2-2=
          1
          2
          (a2n+4+a2n)

          ∵a2m=4am-2m
          ∴a2n+1=4an+1-2(n+1),a2n+4=4an+2-2(n+2),a2n=4an-2n
          ∴an+2=2an+1-an+2
          ∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2
          ∵bn=an+1-an
          ∴bn+1-bn=2
          ∴數(shù)列{bn}為首項(xiàng)為a2-a1=4,公差為2的等差數(shù)列;
          (III)證明:由(II)知bn=2n+2
          cn=
          2n-2(bn-2)
          n
          =2n-1
          Sn=c1+c2+…+cn=2n-1
          Sn
          Sn+1
          =
          2n-1
          2n+1-1
          2n+1-1
          2(2n+1-1)
          =
          1
          2

          S1
          S2
          +
          S2
          S3
          +…+
          Sn
          Sn+1
          n
          2

          又∵
          Sn
          Sn+1
          =
          2n-1
          2n+1-1
          =
          1
          2
          -
          1
          2n-2
          1
          2
          -
          1
          3
          ×
          1
          2n

          S1
          S2
          +
          S2
          S3
          +…+
          Sn
          Sn+1
          n
          2
          -
          1
          3
          (
          1
          2
          +
          1
          22
          +…+
          1
          2n
          )=
          n
          2
          -
          1
          3
          (1-
          1
          2n
          )>
          n
          2
          -
          1
          3

          n
          2
          -
          1
          3
          S1
          S2
          +
          S2
          S3
          +…+
          Sn
          Sn+1
          n
          2
          (n∈N*)
          點(diǎn)評:本題考查數(shù)列遞推式,考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查不等式的證明,正確確定數(shù)列的通項(xiàng),利用放縮法是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,且對任意的n∈N*,點(diǎn)Pn(n,an)都有
          .
          PnPn+1
          =(1,2)
          ,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.如:若cn=
          4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
          4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).
          則{cn}
          是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列.
          (I)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.求證:{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式:
          (Ⅱ)設(shè)(I)中的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,試研究:是否存在實(shí)數(shù)a,使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50.若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.如數(shù)列cn:若cn=
          4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
          4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
          ,則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.
          (Ⅰ)求證:{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列;
          (Ⅱ)求證:{an}的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和S20

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2+a4=6,且對任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
          π
          2
          )=0
          cn=an+
          1
          2an
          ,則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn為( 。
          A、
          n2+n
          2
          -
          1
          2n
          B、
          n2+n+4
          2
          -
          1
          2n-1
          C、
          n2+n+2
          2
          -
          1
          2n
          D、
          n2+n+4
          2
          -
          1
          2n

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=1-
          1
          an
          ,令An=a1a2an,則A2013
          =(  )

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          同步練習(xí)冊答案