Question

已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）若方程有唯一解，試求實數(shù)的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）    （2）實數(shù)的值為

【解析】(1)先對求導，然后求出x=1的導數(shù)，可寫出直線的點斜式方程化成一般式方程即可.

（2）本題轉化為在區(qū)間上同時恒成立問題解決即可。

(3) 本題的解題思路原方程等價于，令，則原方程即為。因為當時原方程有唯一解，所以函數(shù)與的圖像在軸右側有唯一的交點.然后利用導數(shù)研究h(x)的圖像從圖像上觀察y=m與y=h(x)何時有一個公共點即可。

解：（1）因為，所以切線的斜率.又知，則代入點斜式方程有.即.        ------------3分

（2）因為，又（定義域），

所以當時，；當時，.即在上單調遞增，在上單調遞減；

又，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

欲使函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù)，

則，解之得. ------------8分

（3）原方程等價于，令，則原方程即為。

因為當時原方程有唯一解，所以函數(shù)與的圖像在軸右側有唯一的交點    --9分

又，且，所以當時，，當時，

即在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得最小值，從而當時原方程有唯一解的充要條件是，

所以實數(shù)的值為.