Question

已知A，B分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)₁是橢圓C的左焦點(diǎn)，|AF1|=2-

3

，離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，且PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得|HP|=|PQ|，連接AQ，并延長(zhǎng)AQ交直線l：x=2于M點(diǎn)，N為MB中點(diǎn)，求

OQ

•

QN

的值，并判斷以O(shè)為圓心，OQ為半徑的圓與直線QN的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a與c，從而可得橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），依題意，可知H（x₀，0）和Q（x₀，2y₀），知A（-2，0），可得直線AQ方程，x=2與直線l交于M（2，

8y0

x0+2

），MB的中點(diǎn)為N（2，

4y0

x0+2

），可求得向量

OQ

與

NQ

的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積可證

OQ

⊥

NQ

，從而可判斷出以O(shè)為圓心，OQ為半徑的圓與直線QN相切．

解答：解：（1）e=

c

a

=

3

2

，|AF₁|=2-

3

=a-c…2
∴a=2，c=

3

，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

1

=1；…（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），

x 2 0

4

+

y 2 0

1

=1…（5分）
∵|HP|=|PQ|，得H（x₀，0）和Q（x₀，2y₀），…（6分）
又A（-2，0），Q（x₀，2y₀），得直線AQ方程l為y=

2y0

x0+2

（x+2）…（7分）
x=2與直線l交于M點(diǎn)，M（2，

8y0

x0+2

），MB的中點(diǎn)為N，則N（2，

4y0

x0+2

）…（8分）

OQ

=（x₀，2y₀），

NQ

=（x₀-2，

2x0y0

x0+2

）…（9分）

OQ

•

NQ

=x₀（x₀-2）+2y₀•

2x0y0

x0+2

=x₀（x₀-2）+

x0(4- x 2 0 )

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0…（11分）
∴

OQ

⊥

NQ

判斷得出以O(shè)為圓心，OQ為半徑的圓與直線QN相切．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的應(yīng)用，突出綜合運(yùn)算能力的考查，屬于難題．