Question

已知常數(shù)a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，經(jīng)過原點O以c＋λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點A(0，a)，以i－2λc為方向向量的直線相交于點P．其中λ∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PF|＋|PF|為定值．若存在，求出E，F(xiàn)的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：根據(jù)題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值． 　　∵i＝(1，0)，c＝(0，a)， 　　∴c＋λi＝(λ，a)，i－2λc＝(1，－2λa)． 　　因此，直線OP和AP的方程分別為λy＝ax和y－a＝－2λax． 　　消去參數(shù)λ，得點P(x，y)的坐標滿足方程y(y－a)＝－2a2x2， 　　整理得＋＝1　�、� 　　因為a＞0，所以得： 　　(i)當a＝時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F； 　　(ii)當0＜a＜時，方程①表示橢圓，焦點E(，)和F(－，)為合乎題意的兩個定點； 　　(iii)當a＞時，方程①也表示橢圓，焦點E(0，(a＋))和F(0，(a－)為合乎題意的兩個定點．