Question

某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發(fā)生側(cè)翻,導(dǎo)致濃硫酸泄漏,對(duì)河水造成了污染.為減

少對(duì)環(huán)境的影響，環(huán)保部門迅速反應(yīng),及時(shí)向污染河道投入固體堿，個(gè)單位的固體堿在水中

逐漸溶化,水中的堿濃度與時(shí)間(小時(shí))的關(guān)系可近似地表示為：

,只有當(dāng)污染河道水中堿的濃度不低于時(shí),才能對(duì)污

染產(chǎn)生有效的抑制作用.

（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間有多長？

（2）第一次投放1單位固體堿后,當(dāng)污染河道水中的堿濃度減少到時(shí),馬上再投放1個(gè)單

位的固體堿,設(shè)第二次投放后水中堿濃度為,求的函數(shù)式及水中堿濃度的最大值.

（此時(shí)水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）

 

Answer 1

【答案】

（1）3  （2）第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間為3小時(shí)；

第一次投放小時(shí)后, 水中堿濃度的達(dá)到最大值為. 

【解析】

試題分析：．⑴由題意知或                               

解得或，即                                  

能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間：小時(shí).                        

⑵由⑴知，時(shí)第二次投入1單位固體堿，顯然的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060809162522368152/SYS201306080916578330554752_DA.files/image011.png"> 

當(dāng)時(shí)，第一次投放1單位固體堿還有殘留,故

=+=;             

當(dāng)時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無殘留,故

當(dāng)時(shí)， =;           

當(dāng)時(shí)， ;                             

所以     

當(dāng) 時(shí)，

==;

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,即

當(dāng)時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無殘留，

當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù);

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù);故=，       

又,所以當(dāng)時(shí)，水中堿濃度的

最大值為.                                              

答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間為3小時(shí)；第一次投放

小時(shí)后, 水中堿濃度的達(dá)到最大值為. 

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查解不等式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用基本不等式求函數(shù)

的最值，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．