Question

（2013•江門二模）某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發(fā)生側(cè)翻，導(dǎo)致濃硫酸泄漏，對河水造成了污染．為減少對環(huán)境的影響，環(huán)保部門迅速反應(yīng)，
及時(shí)向污染河道投入固體堿，1個(gè)單位的固體堿在水中逐漸溶化，水中的堿濃度f（x）與時(shí)間x（小時(shí)）的關(guān)系可近似地表示
為：f（x）=

2- x 6 - 6 x+3     0≤x＜3 1- x 6               3≤x≤6

，只有當(dāng)污染河道水中堿的濃度不低于

1

3

時(shí)，才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間有多長？
（2）第一次投放1單位固體堿后，當(dāng)污染河道水中的堿濃度減少到

1

3

時(shí)，馬上再投放1個(gè)單位的固體堿，設(shè)第二次投放后水中堿濃度為g（x），求g（x）的函數(shù)式及水中堿濃度的最大值．（此時(shí)水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）

Answer 1

分析：（1）利用分段函數(shù)解析式，分別列出不等式，解之，即可求得x的范圍，從而可得能夠維持有效抑制作用的時(shí)間；
（2）確定第二次投放后水中堿濃度g（x）的解析式，再分段利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式研究其單調(diào)性，即可求得最大值．

解答：解：（1）由題意知

0≤x＜3 2- x 6 - 6 x+3 ≥ 1 3

或

3≤x≤6 1- x 6 ≥ 1 3

解得1≤x＜3或3≤x≤4，即1≤x≤4
能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間：4-1=3小時(shí)．
（2）由（1）知，x=4時(shí)第二次投入1單位固體堿，顯然g（x）的定義域?yàn)?≤x≤10
當(dāng)4≤x≤6時(shí)，第一次投放1單位固體堿還有殘留，
故g（x）=（1-

x

6

）+[2-

x-4

6

-

6

x-4+3

]=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

；
當(dāng)6＜x≤10時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無殘留，故
當(dāng)6＜x≤7時(shí)，
g（x）=2-

x-4

6

-

6

x-4+3

=

8

3

-

x

6

-

6

x-1

；
當(dāng)7＜x≤10時(shí)，g（x）=1-

x-4

6

=

5

3

-

x

6

；
所以g（x）=

11 3 - x 3 - 6 x-1 ，4≤x≤6 8 3 - x 6 - 6 x-1 ，6＜x≤7 5 3 - x 6 ，7＜x≤10

當(dāng)4≤x≤6時(shí)，g（x）=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

=

10

3

-(

x-1

3

+

6

x-1

)≤

10

3

-2

2

；
當(dāng)且僅當(dāng)

x

3

=

6

x-1

時(shí)取“=”，即x=1+3

2

（函數(shù)值與自變量值各1分）
當(dāng)6＜x≤10時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無殘留，
當(dāng)6＜x≤7時(shí)，
g′（x）=

6

(x-1)2

-

1

6

=

(x+5)(7-x)

6(x-1)2

＞0，所以g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)7＜x≤10時(shí)，g（x）為減函數(shù)；故 g（x）_max=g（7）=

1

2

，
又

10

3

-2

2

-

1

2

=

289 - 288

6

＞0，
所以當(dāng)x=1+3

2

時(shí)，水中堿濃度的最大值為

10

3

-2

2

．
答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間為3小時(shí)；第一次投放1+3

2

小時(shí)后，水中堿濃度的達(dá)到最大值為

10

3

-2

2

．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)，不等式，函數(shù)的單調(diào)性，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．