Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點在原點，斜邊長為2

13

，一直角邊的方程是y=2x，則拋物線的方程為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由一直角邊的方程是y=2x，知另一直角邊的方程是y=-

1

2

x．由此求出三角形的另兩個頂點為(

p

2

，p)和（8 p，-4p），從而利用已知條件能求出所求拋物線的方程．

解答： 解：∵一直角邊的方程是y=2x，
∴另一直角邊的方程是y=-

1

2

x．
由

y=2x y2=2px

，解得

x= p 2 y=p

，或

x=0 y=0

（舍去），
由

y=- 1 2 x y2=2px

，解得

x=8p y=-4p

，或

x=0 y=0

（舍去），
∴三角形的另兩個頂點為(

p

2

，p)和（8p，-4p）．
∴

( p 2 -8p)2+(p+4p)2

=2

13

．
解得p=

4

5

，
∴所求拋物線的方程為y²=

8

5

x．
故答案為：y²=

8

5

x．

點評：本題考查拋物線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意直線方程和兩點間距離公式的合理運用．