Question

如圖，有一正方形鋼板ABCD缺損一角（圖中的陰影部分），邊緣線OC是以直線AD為對稱軸，以線段AD的中點O為頂點的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個直角梯形．若正方形的邊長為2米，問如何畫切割線EF，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，有題意可得拋物線的方程為，設(shè)出切點得出切線方程求出點E、F的坐標(biāo)，進而表示出梯形的面積再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最大值，最終解決實際問題．
解答：解：以O(shè)為原點，直線AD為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線弧OC的方程為y=ax²（0≤x≤2）
∵點C的坐標(biāo)為（2，1），
∴2²a=1，
故邊緣線OC的方程為．
要使梯形ABEF的面積最大，則EF所在的直線必與拋物線弧OC相切，設(shè)切點坐標(biāo)為，
∵，
∴直線EF的方程可表示為，即，
由此可求得，．
∴，，
設(shè)梯形ABEF的面積為S（t），則===．
∴當(dāng)t=1時，．，
故S（t）的最大值為2.5．此時|AF|=0.75，|BE|=1.75．
答：當(dāng)AF=0.75m，BE=1.75m時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為2.5m²．
點評：解應(yīng)用題常用的方法是依據(jù)題意建立等量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型利用函數(shù)的性質(zhì)進行求解，而有些應(yīng)用題有明顯的幾何意義，可以考慮利用解析法根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，構(gòu)造曲線方程，利用曲線的性質(zhì)進行求解．