Question

（本題滿(mǎn)分12分）

如圖，有一正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線(xiàn)是以直線(xiàn)AD為對(duì)稱(chēng)軸，以線(xiàn)段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來(lái)，使剩余的部分成為一個(gè)直角梯形．若正方形的邊長(zhǎng)為2米，問(wèn)如何畫(huà)切割線(xiàn)，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：以為原點(diǎn)，直線(xiàn)為軸，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意

可設(shè)拋物線(xiàn)弧的方程為

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

故邊緣線(xiàn)的方程為. ……4分

要使梯形的面積最大，則所在的直線(xiàn)必與拋物線(xiàn)弧相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵，

∴直線(xiàn)的的方程可表示為，即，…………6分

由此可求得，.

∴，，…8分

設(shè)梯形的面積為，則

.  ……………………………………………………………10分

∴當(dāng)時(shí)，，

故的最大值為.  此時(shí).………11分

答：當(dāng)時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.   ………………………………………………………………………12分

解法二：以為原點(diǎn)，直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線(xiàn)弧的方程為

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴， 

故邊緣線(xiàn)的方程

為. ………4分

要使梯形的面積最大，則所在的直線(xiàn)必與拋物線(xiàn)弧相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵，

∴直線(xiàn)的的方程可表示為，即，…6分

由此可求得，.

∴，，……………7分

設(shè)梯形的面積為，則

.  ……………………………………………………………10分

∴當(dāng)時(shí)，，

故的最大值為.  此時(shí).………11分

答：當(dāng)時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.   ………………………………………………………………………12分

 

【解析】略