Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x2-1

．
（1）設(shè)f（x）的定義域?yàn)锳，求集合A；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）f（x）為分式函數(shù)，則由分母不能為零，解得定義域；
（2）要求用定義證明，則先在（1，+∞）上任取兩變量且界定大小，然后作差變形看符號(hào)．

解答：解：（1）由x²-1≠0，得x≠±1，
所以，函數(shù)f(x)=

1

x2-1

的定義域?yàn)閤∈R|x≠±1（4分）
（2）函數(shù)f(x)=

1

x2-1

在（1，+∞）上單調(diào)遞減．（6分）
證明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），設(shè)x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，△y=y2-y1=

1

x 2 2 -1

-

1

x 2 1 -1

=

(x1-x2)(x1+x2)

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

（8分）
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁²-1＞0，x₂²-1＞0，x₁+x₂＞0．
又x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，故△y＜0．
因此，函數(shù)f(x)=

1

x2-1

在（1，+∞）上單調(diào)遞減．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)定義域的基本求法和單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性．