Question

已知點(diǎn)A=(3，

3

)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

，則z=

OA • OP

| OA |

的最大值是（　　）

• A．

  3

• B．6
• C．

  3

  3

• D．

  1

  6

Answer 1

分析：做出滿足條件足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0.

的可行域，根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，可得目標(biāo)函數(shù)

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，過P作

OA

的垂線PH，垂足為H，易得當(dāng)P在可行域內(nèi)移動到直線

3

x-y=0和直線x-

3

y+2=0的交點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)有最大值．

解答：解：作出可行域如圖，則

OA • OP

| OA |

=|

OP

|cos∠AOP，
又∠AOP是

OA

與

OP

的夾角，
∴目標(biāo)函數(shù)

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，
過P作

OA

的垂線PH，垂足為H，
當(dāng)P在可行域內(nèi)移動到直線

3

x-y=0和直線x-

3

y+2=0的交點(diǎn)B(1，

3

)時，

OP

在

OA

上的投影為|

OH

|最大，此時|

OP

|=|

OB

|=2，∠AOP=∠AOB=

π

6

，
∴

OA • OP

| OA |

的最大值為|

OB

|cos∠AOB=2cos

π

6

=

3

故選A．

點(diǎn)評：本題考查簡單線性規(guī)劃，求解此類問題的關(guān)鍵是正確作圖，熟練掌握目標(biāo)函數(shù)最值的判斷方法，判斷目標(biāo)函數(shù)的最值是本部分中的難點(diǎn)，也是易錯點(diǎn)．