Question

（2012•青島二模）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作傾斜角為

π

3

的直線交橢圓D于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁到直線AB的距離為3，連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓D的左頂點(diǎn)P作直線l₁交橢圓D于另一點(diǎn)Q．
（�。┤酎c(diǎn)N（0，t）是線段PQ垂直平分線上的一點(diǎn)，且滿足

NP

•

NQ

=4，求實(shí)數(shù)t的值；
（ⅱ）過(guò)P作垂直于l₁的直線l₂交橢圓D于另一點(diǎn)G，當(dāng)直線l₁的斜率變化時(shí)，直線GQ是否過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出AB的方程，利用F₁到直線AB的距離為3，可求得c的值，利用a²-b²=c²=3，連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4，即可求得橢圓D的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁的方程代入橢圓D的方程，消去y，整理得一元二次方程，由韋達(dá)定理，可求得線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸，利用

NP

•

NQ

=-4+t2=4，可求t的值；當(dāng)k≠0時(shí)，求出線段PQ垂直平分線的方程，令x=0，得：t=-

6k

1+4k2

，利用

NP

•

NQ

=4，可求t的值；
（ⅱ）設(shè)直線l₂的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定Q的坐標(biāo)，從而可求GQ的直線方程，令y=0，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0
由題意得AB的方程為：y=

3

(x-c)
因F₁到直線AB的距離為3，所以有

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解得c=

3

…（1分）
所以有a²-b²=c²=3…①
由題意知：

1

2

×2a×2b=4，即ab=2…②
聯(lián)立①②解得：a=2，b=1
∴所求橢圓D的方程為

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（-2，0），設(shè)Q（x₁，y₁）
根據(jù)題意可知直線l₁的斜率存在，可設(shè)直線斜率為k，則直線l₁的方程為y=k（x+2）
把它代入橢圓D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由韋達(dá)定理得-2+x1=-

16k2

1+4k2

，則x1=

2-8k2

1+4k2

，
∴y₁=k（x₁+2）=

4k

1+4k2

，∴Q(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，
∴線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)…（6分）
（�。┊�(dāng)k=0時(shí)，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸，于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(2，-t)
由

NP

•

NQ

=-4+t2=4，解得：t=±2

2

…（8分）
當(dāng)k≠0時(shí)，則線段PQ垂直平分線的方程為y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)
因?yàn)辄c(diǎn)N（0，t）是線段PQ垂直平分線的一點(diǎn)，
令x=0，得：t=-

6k

1+4k2

，于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(x1，y1-t)
由

NP

•

NQ

=-2x1-t(y1-t)=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，解得：k=±

14

7

代入t=-

6k

1+4k2

，解得：t=±

2 14

5

綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)t的值為t=±2

2

或t=±

2 14

5

…（10分）
（ⅱ）設(shè)G（x₂，y₂），由題意知l₁的斜率k≠0，直線l₂的斜率為-

1

k

，則l2：y=-

1

k

(x+2)
由

y=- 1 k (x+2) x2 4 +y2=1

化簡(jiǎn)得：（k²+4）x²+16x+16-4k²=0．
∵此方程有一根為-2，得x2=

2k2-8

k2+4

⇒y2=-

4k

k2+4

．…（12分）
∵Q(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，則kGQ=

- 4k k2+4 - 4k 1+4k2

2k2-8 k2+4 - 2-8k2 1+4k2

=-

5k

4(k2-1)

所以GQ的直線方程為y-

4k

1+4k2

=-

5k

4(k2-1)

(x-

2-8k2

1+4k2

)
令y=0，則x=

16k(k2-1)

5k(1+4k2)

+

2-8k2

1+4k2

=-

6

5

．
所以直線GQ過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(-

6

5

，0)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．