Question

已知函數(shù)f(x)=

x2

2

+ax+b，其中a、b∈R，g（x）=e^x（e是自然對數(shù)的底）．
（1）當b＜a＜1，f（1）=0，且函數(shù)y=2f（x）+1的零點，證明：-

3

2

＜b≤-

1

2

；
（2）當b=1時，若不等式f（x）≤g（x）在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0，結(jié)合b＜a＜1，我們可以構(gòu)造關(guān)于b的不等式①，再由函數(shù)y=2f（x）+1的零點，即x²+2ax+2b+1=0有實根，根據(jù)△≥0，我們可以構(gòu)造關(guān)于b的不等式②，解不等式組即可得到b的范圍．
（2）由不等式f（x）≤g（x）在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，我們可以得到a≤

ex- 1 2 x2-1

x

在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，即在x∈(

1

2

，+∞)上，a值小于等于函數(shù)g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

的最小值，利用導數(shù)法求出函數(shù)的最值后，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（I）由f（1）=0，得a=-

2b+1

2

又b＜a＜1，
∴b＜-

2b+1

2

＜1，
解得-

3

2

＜b＜-

1

4

①
且函數(shù)y=2f（x）+1的零點，即x²+2ax+2b+1=0有實根
∴△=4a²-4（2b+1）≥0
將a=-

2b+1

2

代入化簡得：4b²-4b-3≥0
解得b≤-

1

2

或b≥

3

2

②
由①②得-

3

2

＜b≤-

1

2

．

（II）當b=1時，f(x)=

x2

2

+ax+1，由式f（x）≤g（x），
得ax≤ex-

1

2

x2-1在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，
即a≤

ex- 1 2 x2-1

x

在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，
令g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，則g′(x)=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

令h(x)=ex(x-1)-

1

2

x2+1，則h'（x）=x（e^x-1）
∵x∈(

1

2

，+∞)
∴h′（x）＞0
即h（x）在(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增
∴h（x）≥h（

1

2

）=

7

8

-

e

2

＞0
∴g'（x）＞0
∴g（x）在x∈(

1

2

，+∞)單調(diào)遞增
則g（x）≥g（

1

2

）=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

故a≤2

e

-

9

4

點評：本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定定理，函數(shù)恒成立問題，利用導數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)最值，（1）中根據(jù)已知條件構(gòu)造構(gòu)造關(guān)于b的不等式組是證明的關(guān)鍵；（2）中將不等式f（x）≤g（x）在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題是解答的關(guān)鍵．