Question

【題目】設(shè)雙曲線與橢圓 =1有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求：
（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若直線L過A（﹣1，2），且與雙曲線漸近線y=kx（k＞0）垂直，求直線L的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓 =1的焦點(diǎn)為（0，3），（0，﹣3），

交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，可得A（± ，4），

設(shè)雙曲線的方程為 =1（a，b＞0），

由題意可得a2+b2=9， =1，

解得a=2，b= ，

則雙曲線的方程為 =1

（2）解：雙曲線 =1的漸近線方程為y=± x，

由題意可得k= ，

則直線l的斜率為﹣ =﹣ ，

即有直線l的方程為y﹣2=﹣ （x+1），

即為 x+2y+ ﹣4=0

【解析】（1）求得橢圓的焦點(diǎn)，求得A的坐標(biāo)，設(shè)出雙曲線的方程，由題意可得a2+b2=9， =1，解得a，b，即可得到所求方程；（2）求得雙曲線的漸近線方程，可得k，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，以及點(diǎn)斜式方程即可得到所求方程．