Question

已知圓C的方程為：（x+1）²+（y-2）²=2．
（1）若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等，求切線l的方程；
（2）過原點(diǎn)的直線m與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2，求直線m的方程．

Answer 1

分析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心C的坐標(biāo)及圓的半徑r，
（1）分兩種情況考慮：①切線l過原點(diǎn)，可設(shè)切線l方程為y=kx，由直線與圓相切得到d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到切線l的距離d，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線l的方程；②當(dāng)切線l不過原點(diǎn)時，設(shè)切線l方程為x+y-a=0，同理由d=r列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出切線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的切線l的方程；
（2）分兩種情況考慮：①當(dāng)直線m的斜率不存在時，顯然經(jīng)檢驗(yàn)x=0滿足題意；②當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為y=kx，由弦長的一半及圓的半徑，利用勾股定理求出圓心到直線m的距離d，再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出d，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線m的方程．

解答：解：由圓C的方程（x+1）²+（y-2）²=2，得到圓心C坐標(biāo)為（-1，2），半徑r=

2

，
（1）分兩種情況考慮：
①若切線l過原點(diǎn)，設(shè)l方程為y=kx，即kx-y=0，
則由C（-1，2）到l的距離：d=

|-k-2|

k2+1

=

2

，得：k=2±

6

，
∴此時切線l的方程為：y=(2±

6

)x；…（2分）
②若切線l不過原點(diǎn)，設(shè)l方程為x+y-a=0，
則由C（-1，2）到l的距離：d=

|-1+2-a|

2

=

2

，
即1-a=2或1-a=-2，解得：a=3或a=-1，
此時切線l的方程為：x+y-3=0或x+y+1=0，
∴所求切線l的方程為：y=(2±

6

)x或x+y-3=0或x+y+1=0；…（6分）
（2）分兩種情況考慮：
①當(dāng)直線m的斜率不存在時，其方程為x=0，
m與圓C的交點(diǎn)為A（0，1），B（0，3）
滿足|AB|=2，
∴x=0符合題意；…（8分）
②當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)m的方程為y=kx，即kx-y=0，
則圓心C到直線m的距離為d=

|-k-2|

k2+1

，又|AB|=2，r=

2

，
∴d=

r2-( |AB| 2 )2

=1，即1=

|-k-2|

k2+1

，
解得：k=-

3

4

，
∴此時m的方程為：3x+4y=0，
則所求m的方程為：x=0或3x+4y=0．…（12分）

點(diǎn)評：此題考查了圓的切線方程，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，利用了分類討論的思想，要求學(xué)生考慮問題要全面，做到不重不漏．