Question

定義域為R的函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（4-x），且其導函數(shù)f′（x）滿足（x-2）f′（x）＞0，則當2＜a＜4時，有（　�。�

A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）

B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）

C．f(2)＜f(log2a)＜f(2a)

D．f(log2a)＜f(2a)＜f(2)

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求出函數(shù)的對稱軸，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后判定2、log₂a、2^a的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性即可得出結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（4-x），
∴函數(shù)f（x）對任意x都有f（2+x）=f（2-x），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=2
∵導函數(shù)f′（x）滿足（x-2）f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，（-∞，2）上單調(diào)遞減
∵2＜a＜4
∴4＜2^a＜16
∵函數(shù)f（x）的對稱軸為x=2
∴f（log₂a）=f（4-log₂a）
∵2＜a＜4，∴1＜log₂a＜2
∴2＜4-log₂a＜3
∴2＜4-log₂a＜2^a
∴f（2）＜f（4-log₂a）＜f（2^a），
∴f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a），
故選C

點評：本題考查利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，考查利用單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題．