Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x+

3

cos(

3π

2

+2x)-1，下列命題中不正確的是（　　）

• A．f（x）的圖象關(guān)于直線x=

  π

  6

  對(duì)稱
• B．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

  5π

  12

  ，0)成中心對(duì)稱
• C．f（x）在區(qū)間[-

  π

  3

  ，

  π

  6

  ]上單調(diào)遞增
• D．f（x）在區(qū)間[

  π

  12

  ，

  π

  3

  ]上的最大值是1，最小值是0

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦公式把f（x）化為2sin(2x+

π

6

)-1，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得出．

解答：解：f（x）=cos2x+

3

sin2x-1
=2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)-1
=2sin(2x+

π

6

)-1，
A．∵f（

π

6

）=2sin(2×

π

6

+

π

6

)-1=2×1-1=1，∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，正確；
B．∵f(

5π

12

)=2sin(2×

5π

12

+

π

6

)-1=2sinπ-1=-1，∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

5

12

π，-1)成中心對(duì)稱；
C．由x∈[-

π

3

，

π

6

]，得(2x+

π

6

)∈[-

π

2

，

π

2

]，∴sin(2x+

π

6

)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，因此f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

6

]上單調(diào)遞增，故正確；
D．由x∈[

π

12

，

π

3

]得(2x+

π

6

)∈[

π

3

，

5π

6

]，∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，∴0≤2sin(2x+

π

6

)≤1，即0≤f（x）≤1，∴f（x）在區(qū)間[

π

12

，

π

3

]上的最大值是1，最小值是0．
綜上可知：不正確的是B．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用兩角和的正弦公式把a(bǔ)sinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+θ）的方法、利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．