Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1=λan+2n（n∈N* ， λ∈R），且a1=2．
（1）若λ=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若λ=2，證明數(shù)列{ }是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)λ=1時，an+1=an+2n（n∈N*），且a1=2．

∴ ，

∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2++an﹣an﹣1

=2+2+22++2n﹣1

=2+

=2n．

（2）證明：當(dāng)λ=2時，an+1=2an+2n（n∈N*），且a1=2．

∴ ，即 = ，

∵ ，∴數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為 的等差數(shù)列，

∴ = ，

∴an=（ ）2n=（n+1）2n﹣1，

∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：

Sn=220+32+422++（n+1）2n﹣1，①

2Sn=22+322+423++（n+1）2n，②

②﹣①，得：

Sn=（n+1）2n﹣2﹣（2+22+23++2n﹣1）

=（n+1）2n﹣2﹣

=（n+1）2n﹣2﹣2n+2

=n2n．

【解析】（1）當(dāng)λ=1時， ，由此利用累加法能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）當(dāng)λ=2時， = ，再由 ，能證明數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為 的等差數(shù)列，從而an=（ ）2n=（n+1）2n﹣1，由此利用錯位相減法能出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．