Question

已知正數(shù)x滿足x+2

x

≤a(4x+1)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為

1+ 17

8

．

Answer 1

分析：設(shè)t=

x

，則t＞0，則問題等價(jià)于不等式（4a-1）t²-2t+a≥0恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為t＞0時(shí)，（4a-1）t²-2t+a的最小值大于等于0，分4a-1=0，4a-1＜0，4a-1＞0三種情況進(jìn)行討論可得該二次函數(shù)的最小值．

解答：解：設(shè)t=

x

，則t＞0，則問題等價(jià)于不等式（4a-1）t²-2t+a≥0恒成立，
（1）當(dāng)4a-1=0即a=

1

4

時(shí)，不等式化為-2t+

1

4

≥0，t≤

1

8

，不恒成立；
（2）當(dāng)4a-1＜0即a＜

1

4

時(shí)，二次函數(shù)y=（4a-1）t²-2t+a的開口向下，對稱軸為t=

1

4a-1

＜0，顯然不合題意；
（3）當(dāng)4a-1＞0即a＞

1

4

時(shí)，二次函數(shù)y=（4a-1）t²-2t+a的開口向上，對稱軸為t=

1

4a-1

＞0，
且t=0時(shí)y=a＞0，要使（4a-1）t²-2t+a≥0恒成立，
只需△=4-4（4a-1）a≤0，即a≤

1- 17

8

或a≥

1+ 17

8

，
又a＞

1

4

，所以a≥

1+ 17

8

，
綜上得實(shí)數(shù)a的最小值為

1+ 17

8

，
故答案為：

1+ 17

8

．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次不等式、函數(shù)恒成立問題，解決本題的關(guān)鍵是通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決．