Question

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，以相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知，直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，若，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， .

（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）消去參數(shù)，即可得到直線的普通方程，在利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可得到直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，求得，進(jìn)而得到，再由題設(shè)，即可求解的值．

試題解析：

（Ⅰ）由消去參數(shù)，得，

由， ，

得直線的極坐標(biāo)方程為，

由，得，

由， 代入，得.

（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立并整理得，

設(shè)點(diǎn)， 分別對(duì)應(yīng)參數(shù)， ，則， 恰為上述方程的根，

由可得，得.

則， ，所以 ，

由，得，

即，解得或（舍去）.

故.