Question

設x₁,x₂∈R,常數(shù)a＞0,定義運算“*”:x₁*x₂=(x₁+x₂)²-(x₁-x₂)².

(1)若x≥0,求動點P(x,)軌跡C的方程;

(2)若a=2,不過原點的直線l與x軸,y軸的交點分別為T,S,并且與(1)中軌跡C交于不同的兩點P,Q,試求+的取值范圍;

(3)設P(x,y)是平面上的任一點,定義d₁(P)=,d₂(P)=.若在(1)中軌跡C上存在不同的兩點A₁,A₂,使得d₁(A_i)=d₂(A_i)(i=1,2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解:(1)設y=.

又由y=≥0,可得動點P(x,)軌跡C的方程為y²=4ax(y≥0).

(2)由題得y²=8x(y≥0),設直線l:x=my+c,依題意m＞0,c＜0,則T(c,0).S,T,P,Q都在直線l上,

則=|c|().

由題得c＜0,x_P＞0,x_Q＞0,

∴=-c·()=.

由消去y得x²-(2c+8m²)x+c²=0.

∴

∵c＜0,∴m²＞c,代入x_P+x_Q=2c+8m²,x_P·x_Q=c²,得=2,

又由m²＞c,c＜0知＜,

∴＞4,-2＞2,

即的取值范圍是(2,+∞).

(3)由d₁(P)==,

d₂(P)==|x-a|,

設A₁(x₁,y₁),A₂(x₂,y₂),依題意則有|x₁-a|,|x₂-a|,

故方程|x-a|在x∈［0,+∞)上有兩個不等的實數(shù)解.

平方整理有(a-1)x²-(2a²+4a)x+a³=0在x∈［0,+∞)上有兩個不等的實數(shù)解.

∴又因a＞0,得a＞1.故實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).