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        1. 【題目】過(guò)拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率率分別為k1 , k2的兩條不同直線l1 , l2 , 且k1+k2=2.l1與E交于點(diǎn)A,B,l2與E交于C,D,以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在直線記為l.
          (1)若k1>0,k2>0,證明: ;
          (2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為 ,求拋物線E的方程.

          【答案】
          (1)解:由題意,拋物線E的焦點(diǎn)為 ,直線l1的方程為

          ,得

          設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

          從而x1+x2=2pk1,

          所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為

          同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ,

          于是

          由題設(shè)k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<


          (2)解:由拋物線的定義得 , ,

          所以 ,從而圓M的半徑

          故圓M的方程為 ,

          化簡(jiǎn)得

          同理可得圓N的方程為

          于是圓M,圓N的公共弦所在的直線l的方程為

          又k2﹣k1≠0,k1+k2=2,則l的方程為x+2y=0.

          因?yàn)閜>0,所以點(diǎn)M到直線l的距離為

          =

          故當(dāng) 時(shí),d取最小值 .由題設(shè) ,解得p=8.

          故所求拋物線E的方程為x2=16y.


          【解析】(1)由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),寫出兩條直線的方程,由兩條直線方程和拋物線方程聯(lián)立求出圓M和圓N的圓心M和N的坐標(biāo),求出向量 的坐標(biāo),求出數(shù)量積后轉(zhuǎn)化為關(guān)于k1和k2的表達(dá)式,利用基本不等式放縮后可證得結(jié)論;(2)利用拋物線的定義求出圓M和圓N的直徑,結(jié)合(1)中求出的圓M和圓N的圓心的坐標(biāo),寫出兩圓的方程,作差后得到兩圓的公共弦所在直線方程,由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)M到直線l的距離,利用k1+k2=2轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知量的代數(shù)式,配方后求出最小值,由最小值等于 求出p的值,則拋物線E的方程可求.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          【題目】某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員,其工作年限與推銷金額數(shù)據(jù)如下表:

          推銷員編號(hào)

          1

          2

          3

          4

          5

          工作年限/年

          3

          5

          6

          7

          9

          推銷金額/萬(wàn)元

          2

          3

          3

          4

          5

          (1)求年推銷金額關(guān)于工作年限的線性回歸方程;

          (2)若第6名推銷員的工作年限為11年,試估計(jì)他的年推銷金額.

          附:線性回歸方程中,,其中為樣本平均值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】已知向量 ,其中.函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),點(diǎn)與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為4

          (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;

          (Ⅱ)計(jì)算的值;

          (Ⅲ)設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)在區(qū)間 [0,3] 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】已知,函數(shù),.

          1)若上單調(diào)遞增,求正數(shù)的最大值;

          2)若函數(shù)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】中央電視臺(tái)播出的《朗讀者》節(jié)目,受到廣大人民群眾的喜愛(ài).隨著節(jié)目的播出,極大激發(fā)了觀眾對(duì)朗讀以及經(jīng)典的閱讀學(xué)習(xí)積累的熱情,從中獲準(zhǔn)匪淺,現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾的周均閱讀學(xué)習(xí)經(jīng)典的知識(shí)的時(shí)間(單位:小時(shí))與年齡(單位:歲),并制作了對(duì)照表(如下表所示):

          年齡

          20

          30

          40

          50

          周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間(小時(shí))

          2.5

          3

          4

          4.5

          由表中數(shù)據(jù),試求線性回歸方程,并預(yù)測(cè)年齡為50歲觀眾周均學(xué)習(xí)閱讀經(jīng)典知識(shí)的時(shí)間.

          參考公式:

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為125個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過(guò)攪拌后,從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=( )

          A.
          B.
          C.
          D.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),且

          (1)求的值;

          (2)若為拋物線上異于的兩點(diǎn),且.記點(diǎn)到直線的距離分別為,求的值.

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          【題目】已知函數(shù)),的部分圖象如圖所示,且,則( )

          A. 6 B. 4 C. -4 D. -6

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