Question

【題目】過(guò)拋物線(xiàn)E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作斜率率分別為k1 ， k2的兩條不同直線(xiàn)l1 ， l2 ， 且k1+k2=2．l1與E交于點(diǎn)A，B，l2與E交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在直線(xiàn)記為l．
（1）若k1＞0，k2＞0，證明： ；
（2）若點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離的最小值為 ，求拋物線(xiàn)E的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，拋物線(xiàn)E的焦點(diǎn)為 ，直線(xiàn)l1的方程為 ．

由 ，得 ．

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

從而x1+x2=2pk1， ．

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ， ．

同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ， ．

于是 ．

由題設(shè)k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜ ．

故 ．

（2）解：由拋物線(xiàn)的定義得 ， ，

所以 ，從而圓M的半徑 ．

故圓M的方程為 ，

化簡(jiǎn)得 ．

同理可得圓N的方程為

于是圓M，圓N的公共弦所在的直線(xiàn)l的方程為 ．

又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，則l的方程為x+2y=0．

因?yàn)閜＞0，所以點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離為

= ．

故當(dāng) 時(shí)，d取最小值 ．由題設(shè) ，解得p=8．

故所求拋物線(xiàn)E的方程為x2=16y．

【解析】（1）由拋物線(xiàn)方程求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出兩條直線(xiàn)的方程，由兩條直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求出圓M和圓N的圓心M和N的坐標(biāo)，求出向量 和 的坐標(biāo)，求出數(shù)量積后轉(zhuǎn)化為關(guān)于k1和k2的表達(dá)式，利用基本不等式放縮后可證得結(jié)論；（2）利用拋物線(xiàn)的定義求出圓M和圓N的直徑，結(jié)合（1）中求出的圓M和圓N的圓心的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩圓的方程，作差后得到兩圓的公共弦所在直線(xiàn)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離，利用k1+k2=2轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知量的代數(shù)式，配方后求出最小值，由最小值等于 求出p的值，則拋物線(xiàn)E的方程可求．