Question

函數(shù)y=log

1

2

(sinxcosx)為增函數(shù)的區(qū)間是

（kπ，kπ+

π

4

]，k∈z

．

Answer 1

分析：令t=sinxcosx=

1

2

sin2x＞0，可得 y=log

1

2

t，本題即求函數(shù)t在滿足t＞0時(shí)的單調(diào)增區(qū)間．令2kπ＜2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得所求．

解答：解：令t=sinxcosx=

1

2

sin2x＞0，可得 y=log

1

2

t，且2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈z．
解得 kπ＜x＜kπ+

π

2

，故函數(shù)y的定義域?yàn)椋╧π，kπ+

π

2

 ）．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，本題即求函數(shù)t在（kπ，kπ+

π

2

 ）上的單調(diào)增區(qū)間．
令2kπ＜2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ＜x≤kπ+

π

4

，
故函數(shù)t在（kπ，kπ+

π

2

 ）上的單調(diào)增區(qū)間為（kπ，kπ+

π

4

]，k∈z．
故答案為 （kπ，kπ+

π

4

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．