Question

設(shè)，函數(shù).
（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)、，求證：.

Answer 1

（1）切線(xiàn)方程為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)的方程；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)在定義域上是否有零點(diǎn)，從而求出參數(shù)的取值范圍；另外一中方法是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為“直線(xiàn)與曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)”，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本性質(zhì)，然后利用圖象即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）從所證的不等式出發(fā)，利用分析法最終將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為證明不等式在區(qū)間上恒成立，并構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值來(lái)進(jìn)行證明.
試題解析：在區(qū)間上，，
（1）當(dāng)時(shí)，，則切線(xiàn)方程為，即；
（2）①當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，
，，
，即函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，令得，
在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)，
在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)，
故在區(qū)間上，的極大值為，
由，即，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是；
另解：無(wú)零點(diǎn)方程在上無(wú)實(shí)根直線(xiàn)與曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，
令，則，令，解得，列表如下：

	增	極大值	減

故函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，
由于直線(xiàn)與曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，故，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（3）設(shè)，由，，可得，，
，，
原不等式，
令，于是，
設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得，
故函數(shù)是上的增函數(shù)，，即不等式成立，
故所證不等式成立.