Question

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其固定成本為0.5萬元，但每生產(chǎn)100件產(chǎn)品需要增加投入0.25萬元，設(shè)銷售收入為R（x）（萬元）且R(x)=

5x-0.5x2 (0≤x≤5) 12.5 (x＞5)

，其中x是年產(chǎn)量（單位百件）．
（1）把利潤(rùn)H（x）（萬元）表示成年產(chǎn)量的函數(shù)．
（2）當(dāng)年產(chǎn)量是多少時(shí)，當(dāng)年公司的利潤(rùn)最大值多少？

Answer 1

分析：（1）利潤(rùn)函數(shù)H（x）=銷售收入函數(shù)R（x）-成本函數(shù)，x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（產(chǎn)量），代入解析式即可；
（2）由利潤(rùn)函數(shù)是分段函數(shù)，分別求出最大值，一段利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值，一段利用函數(shù)的單調(diào)性可求出最值，比較即可．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，H（x）=R（x）-（0.5+0.25x）=-0.5x²+4.75x-0.5…（2分）
當(dāng)x＞5時(shí)H（x）=12.5-0.5-0.25x=-0.25x+12…（2分）
綜上所述：H(x)=

-0.5x2+4.75x-0.5 0≤x≤5 -0.25x+12 x＞5

…（2分）
（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，∵H（x）=-0.5x²+4.75x-0.5
∴x=4.75，H（x）_max=H（4.75）=10.78125…（3分）
當(dāng)x＞5時(shí)H（x）=12-0.25x在（5，+∞）內(nèi)是減函數(shù)
∴H（x）=12-0.25x＜12-0.25×5=10.75
而10.75＜10.78125…（2分）
∴當(dāng)年產(chǎn)量為4.75百件時(shí)，公司的最大利潤(rùn)為10.78125萬元．…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及分段函數(shù)和二次函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．