Question

（2007•長寧區(qū)一模）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬元，此外，每生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品還需要增加投入25元，經(jīng)測算，市場對該產(chǎn)品的年需求量為500件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t（單位：百件）時，銷售所得的收入約為5t-

1

2

t2（萬元）．
（1）若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（單位：百件）．試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量x多大時，當(dāng)年所得利潤y最大？

Answer 1

分析：（1）由已知中某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬元，此外，每生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品還需要增加投入25元，經(jīng)測算，市場對該產(chǎn)品的年需求量為500件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t（單位：百件）時，銷售所得的收入約為5t-

1

2

t2（萬元）．根據(jù)年利潤=銷售額-成立，構(gòu)造出該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)．
（2）根據(jù)（1）的分段函數(shù)解析式，我們分別求出各段上函數(shù)的最大值，進(jìn)而得到該公司當(dāng)年所得利潤y的最大值，及相應(yīng)的生產(chǎn)量．

解答：解：（1）由題意得：
y=

(5x- 1 2 x2)-0.5-0.25x，0＜x≤5 (5×5- 1 2 ×52)-0.5-0.25x，x＞5

=

- 1 2 x2+ 19 4 x- 1 2 ，0＜x≤5 - 1 4 x+12，x＞5

（6分）
（2）當(dāng)0＜x≤5時，函數(shù)對稱軸為x=

19

4

=4.75∈(0，5)，
故x=4.75時y最大值為

345

32

．                                 （3分）
當(dāng)x＞5時，函數(shù)單調(diào)遞減，故y＜-

5

4

+12=

43

4

＜

345

32

，（3分）
所以當(dāng)年產(chǎn)量為475件時所得利潤最大．                     （2分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，函數(shù)的值域，分段函數(shù)的解析式求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中（1）中要注意由于市場對該產(chǎn)品的年需求量為500件，故要分0＜x≤5，x＞5兩種情況將問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)模型，（2）要注意分段函數(shù)最值，分段處理．