Question

設(shè)函數(shù) ()．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）試通過(guò)研究函數(shù)（）的單調(diào)性證明：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅲ）證明：當(dāng),且均為正實(shí)數(shù),  時(shí)，．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，討論真數(shù)與1的大小來(lái)判斷的正負(fù)；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性證明大小關(guān)系；（3）利用柯西不等式列出不等式，兩邊取冪，兩邊去倒數(shù)，利用不等式的性質(zhì)證明.

試題解析：（Ⅰ）由，有，     1分

當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)， 單調(diào)遞減；

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．      3分

（Ⅱ）設(shè)（），則，5分

由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減，且，

∴在恒成立，故在單調(diào)遞減，

又，∴，得，

∴，即：．8分

（Ⅲ）由，及柯西不等式：

，                            

所以，

.      11分

又，由（Ⅱ）可知，

即，即.

則.

故.  14分

考點(diǎn)：1.用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；3.柯西不等式.