Question

如圖,在面積為1的△PMN中，tan∠PMN=分 12式，tan∠MNP=2.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程.

Answer 1

解析:題中沒(méi)有給出坐標(biāo)系,我們根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性,建立坐標(biāo)系.當(dāng)然,我們可以嘗試建立其他的坐標(biāo)系.?

在此題中,角的正切可看作相應(yīng)直線(xiàn)的斜率,從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)與c的關(guān)系,求a時(shí)可有三種方法：代入點(diǎn)法,利用橢圓的第一定義得方程；利用點(diǎn)在橢圓上,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程；根據(jù)△PMN是直角三角形.我們這里只介紹一種方法,讀者可自己嘗試其他方法.?

解:如圖,以MN所在直線(xiàn)為x軸,MN的垂直平分線(xiàn)為y軸建立坐標(biāo)系.?

設(shè)以M、N為焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程為=1,焦點(diǎn)為M(-c,0),N(c,0).?

由tan∠PMN=,tan∠PNx=tan(π-∠PNM)=-2,

得直線(xiàn)PM和PN的方程分別為y=(x+c)和y=-2(x-c),?

聯(lián)立兩方程解得x=c,y=c,?

即P點(diǎn)坐標(biāo)為(c,c).?

在△PMN中,MN=2c,MN上的高為c,?

∴S_△MNP=12×2c×45c=1.?

∴c=,即P點(diǎn)坐標(biāo)為(),?

|PM|==2,|PN|==1.?

∴a=(|PM|+|PN|)=.從而b²=a²-c²=1,故所求橢圓方程為x²+y²=1.