Question

（Ⅰ）用向量法證明：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（Ⅱ）若tan（α+β）=

2

5

，tan（α-

π

4

）=

1

4

，求：tan(β+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立直角坐標系，設的頂點在原點，始邊在x軸非負半軸，角α、β的終邊分別與單位圓交于M（cosα，sinα）、N（cosβ，sinβ），則由兩個向量的數(shù)量積的定義可得

OM

•

ON

=cos(α-β)，再利用兩個向量的數(shù)量積公式可得

OM

•

ON

=cosαcosβ+sinαsinβ，從而證得公式成立．
（Ⅱ）根據 tan(β+

π

4

)=tan[(α+β)-(α-

π

4

)]，再把已知條件代入運算求得結果．

解答：（Ⅰ）證明：建立直角坐標系，設的頂點在原點，始邊在x軸非負半軸，
角α、β的終邊分別與單位圓交于p₁（cosα，sinα）、p₂（cosβ，sinβ），
則由兩個向量的數(shù)量積的定義可得

OM

•

oON

=|

OM

||

ON

|cos(α-β)=cos(α-β)，
再利用兩個向量的數(shù)量積公式可得

OM

•

ON

=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（Ⅱ） tan(β+

π

4

)=tan[(α+β)-(α-

π

4

)]=

2 5 - 1 4

1+ 2 5 × 1 4

=

3

22

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義、兩個向量的數(shù)量積公式、兩角差的正切公式，屬于中檔題．