Question

已知橢圓的兩個焦點F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，且橢圓短軸的兩個端點與F₂構成正三角形．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意知c=

3

，4a=8，b=1，由此能求出橢圓的方程．
（II）當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后由韋達定理結合題設條件進行求解．

解答：解：（I）由題意知c=

3

，4a=8，∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1
（II）當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1）

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則由韋達定理得 x1+x2=

8k2

4k2+1

，x1x2=

4k2-4

4k2+1

則

PE

=(m-x1，-y1)，

QE

=(m-x2，-y2)

PE?

QE

=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m2-m

8k2

4k2+1

+

4k2-4

4k2+1

+k2(

4k2-4

4k2+1

-

8k2

4k2+1

+1)
=

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

4k2+1

要使上式為定值須

m2-8m+1

m2-4

=

4

1

，解得m=

17

8

∴

PE?

QE

為定值

33

64

當直線l的斜率不存在時P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

) 由 E(

17

8

，0)可得

PE

=(

9

8

，-

3

2

)，

QE

=(

9

8

，

3

2

)
∴

PE

•

QE

=

81

64

-

3

4

=

33

64

綜上所述當E(

17

8

，0) 時，

PE?

QE

為定值

33

64

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，有效地挖掘題設中的隱含條件，注意合理地進行等價轉化．