Question

已知頂點在坐標原點，焦點在x軸正半軸的拋物線上有一點，A點到拋物線焦點的距離為1．
（1）求該拋物線的方程；
（2）設M（x，y）為拋物線上的一個定點，過M作拋物線的兩條互相垂直的弦MP，MQ，求證：PQ恒過定點（x+2，-y）．
（3）直線x+my+1=0與拋物線交于E，F(xiàn)兩點，在拋物線上是否存在點N，使得△NEF為以EF為斜邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線的定義即可得出；
（2）由題意知直線PQ與x軸不平行，設PQ所在直線方程為x=my+n，代入y²=2x中得 y²-2my-2n=0．利用根與系數(shù)的關系及斜率計算公式即可證明；
（3）利用（2）的結論，只要定點滿足△≥0即可．
解答：解：（1）由題意可設拋物線的方程為y²=2px，則由拋物線的定義可得，即p=1，
所以拋物線的方程為 y²=2x．
（2）由題意知直線PQ與x軸不平行，設PQ所在直線方程為x=my+n，代入y²=2x中得 y²-2my-2n=0．
所以y₁+y₂=2m，y₁y=-2n，其中y₁，y₂分別是P，Q的縱坐標，
因為MP⊥MQ，所以k_MP•k_MQ=-1．
即，所以（y₁+y）（y₂+y）=-4．
，（-2n）+2my+2x+4=0，即n=my+x+2．
所以直線PQ的方程為x=my+my+x+2，
即x=m（y+y）+x+2，它一定過定點（x+2，-y）．
（3）假設N（x，y）為滿足條件的點，則由（2）知，點（x+2，-y）在直線x+my+1=0上，
的解，
消去x得y²-2my+6=0，△=4m²-24≥0所以存在點N滿足條件．
點評：本題綜合考查了拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、斜率的計算公式、直線過定點問題等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．