Question

【題目】已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線，被橢圓截得的弦長(zhǎng)；

（3）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程：（2）（3）見(jiàn)解析，

【解析】

（1）根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)公式和離心率公式進(jìn)行求解即可；

（2）求出過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線方程，將與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合橢圓弦長(zhǎng)公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可；

（3）根據(jù)以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，可以得到向量的數(shù)量積為零，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)進(jìn)行求解即可.

（1）因?yàn)闄E圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為，

所以有且，而，解得，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）因?yàn)?/span>，所以橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線方程是，

因此有因此設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因此有，因此有

,

所以直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為；

（3）設(shè)，由題意可知，設(shè)橢圓右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：，因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，所以有

，

即.

直線與橢圓的方程聯(lián)立，得：

因此，

因此由可得：，化簡(jiǎn)得：

，或

當(dāng)時(shí)，直線方程為該直線恒過(guò)點(diǎn)這與已知矛盾，故舍去；

當(dāng)時(shí)，直線方程為該直線恒過(guò)點(diǎn)，綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn).