Question

如圖，已知橢圓C：的長(zhǎng)軸AB長(zhǎng)為4，離心率，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，連接AQ延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上；
（3）試判斷直線QN與圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)可得，由此能導(dǎo)出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x，y），則．由HP=PQ，知Q（x，2y）．．所以Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上．
（3）設(shè)P（x，y）（x≠±2），則Q（x，2y），且．所以直線AQ的方程為．令x=2，得．又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，所以，，．由此能導(dǎo)出直線QN與圓O相切．
解答：解：（1）由題設(shè)可得，
解得，∴b=1．
∴橢圓C的方程為．
（2）設(shè)P（x，y），則．
∵HP=PQ，∴Q（x，2y）．∴．
∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上．即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上．
（3）設(shè)P（x，y）（x≠±2），則Q（x，2y），且．
又A（-2，0），∴直線AQ的方程為．
令x=2，得．又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，∴．
∴，．
∴=x（x-2）+x（2-x）=0．
∴．∴直線QN與圓O相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．