Question

在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液

1

4

a升，攪勻后再倒出溶液

1

4

a升，這叫做一次操作．
（1）設(shè)第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為b_n（每次注入的溶液都是p%），計(jì)算b₁，b₂，b₃，并歸納出b_n的計(jì)算公式（不要求證明）
（2）設(shè)p＞q＞r，且p-r=2（p-q）要使容器內(nèi)溶液濃度不小于q%，問至少要進(jìn)行上述操作多少次？（已知lg2=0.3010）

Answer 1

分析：（1）由b1=

a× r 100 + a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

(

4

5

r+

1

5

p)，b2=

a•b1+ a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

[(

4

5

)2r+

1

5

p+

4

52

p]，b3=

a•b2+ a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

[(

4

5

)3r+

1

5

p+

4

52

p+

42

53

p]，能求出b_n的計(jì)算公式．
（2）bn=

r

100

(

4

5

)  n+

p

500

[1+

4

5

+(

4

5

)2+…+(

4

5

)n-1]=

r

100

(

4

5

)n+

p

500

•

1-( 4 5 )n

1- 4 5

=

p

100

-

1

100

(

4

5

)n(p-r)，依題意有：

p

100

-

1

100

(

4

5

)n(p-r)≥

q

100

，由此能求出至少要注入倒出4次．

解答：解：（1）b1=

a× r 100 + a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

(

4

5

r+

1

5

p)，
b2=

a•b1+ a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

[(

4

5

)2r+

1

5

p+

4

52

p]，
b3=

a•b2+ a 4 • p 100

a+ a 4

=

1

100

[(

4

5

)3r+

1

5

p+

4

52

p+

42

53

p]，
∴bn=

1

100

[(

4

5

)nr+

1

5

p+

4

52

p+…+

4n-1

5n

p]．
（2）bn=

r

100

(

4

5

)  n+

p

500

[1+

4

5

+(

4

5

)2+…+(

4

5

)n-1]
=

r

100

(

4

5

)n+

p

500

•

1-( 4 5 )n

1- 4 5

=

p

100

-

1

100

(

4

5

)n(p-r)，
依題意有：

p

100

-

1

100

(

4

5

)n(p-r)≥

q

100

，
∵p-r=2（p-q），
∴上式化簡(jiǎn)得：(

5

4

)n≥2，
∴n≥

lg2

1-3lg2

=

0.3010

1-3×0.3010

≈3.103，
∴至少要注入倒出4次．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實(shí)際中的具體應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．