Question

（2012•泉州模擬）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象，P，Q是這部分圖象與x軸的交點(diǎn)（按圖所示），函數(shù)圖象上的點(diǎn)R滿足：|RP|=

11

，|RQ|=3

3

，cos∠RPQ=

3 11

11

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期；
（Ⅱ）若P的橫坐標(biāo)為1，試求函數(shù)y=f（x）的解析式，并求f(

4

3

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△PRQ中，通過(guò)余弦定理求出PQ，推出函數(shù)的周期．
（Ⅱ）利用函數(shù)的周期求出ω，通過(guò)函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)P（1，0），求出φ，求出P的縱坐標(biāo)，求出函數(shù)的振幅，推出函數(shù)的解析式，然后求解f(

4

3

)的值．

解答：本題滿分（13分）．
解：（Ⅰ）在△PRQ中，由余弦定理可得：(3

3

)2=PQ2+(

11

)2-2×|PQ|×

11

×

3 11

11

，
∴PQ²-6|PQ|-16=0，∴|PQ|=8或|PQ|=-2（舍去）．…（3分）
∴函數(shù)y=f（x）的周期為8．…．（5分）
（Ⅱ）∵T=8，∴ω=

2π

T

=

π

4

，…．（7分）
又∵函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)P（1，0），∴φ=-

π

4

，…（9分）
∴f(x)=Asin(

π

4

x-

π

4

)．
過(guò)點(diǎn)R作x軸的垂線，垂足為H，在RT△PHR中，|PR|=

11

，cos∠RPQ=

3 11

11

，
∴|PH|=3，|RH|=

2

，R(4，

2

)，∴Asin(π-

π

4

)=

2

，A=2．…..（11分）
∴f(x)=2sin(

π

4

x-

π

4

)，
則f(

4

3

)=2sin(

π

3

-

π

4

)=2sin

π

3

cos

π

4

-2cos

π

3

sin

π

4

=

6 - 2

2

．…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)公式以及解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．